Hoy toca un poquito de Álgebra y Geometría diferencial

¡¡Feliz Navidad a todos!! 

Hoy quiero hablaros de una curva que me parece muy interesante que conocí el año pasado, la clotoide. 

La clotoide, radioide de arcos o espiral de Cornú (en honor de Marie Alfred Cornú) también conocida en ingles como: Euler spiral (la espiral de Euler) es una curva singular. Cuya representación gráfica es muy bonita... Madre mía si ya empiezo distinguir entre curvas "bonitas" y "feas" es que estoy muy mal.

La clotoide se caracteriza por ser una curva de longitud infinita y que tiene una característica muy importante, su curvatura en cualquier punto es proporcional a la distancia a lo largo de la curva medida desde el origen.

Si la representamos en el plano de Gauss, su expresión quedaría así:

B(t)=S(t)+iC(t)

donde S(t) y C(t) son las integrales de Fresnel que son:

Esta es su representación:

Como podéis observar la curvatura en esta espiral tiene todos los valores, desde el cero hasta el infinito.

Si mencionamos esta curva no es sólo por ser bonita, sino también por sus aplicaciones ingenieriles.
Se usa mucho en ingeniería civil, a la hora de unir tramos rectos y giros tanto de carreteras como de ferrocarriles. El tramo de carretera que hay entre una recta y el giro que vamos a coger con nuestro coche es un trocito de una clotoide. Esto se debe a que si un coche va con velocidad constante por dicha curva tendrá también una aceleración angular constante.

La ecuación de Cesaro de una clotoide es:    donde podemos observar que el producto del radio de curvatura por la longitud del arco (s) es siempre constante.

Aquí os dejo también una animación para que podáis ver como se va construyendo la cicloide.